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概率论与数理统计(前三章)

 开始学习概率论 整理的学习笔记

概率论基本概念

随机事件,样本空间

随机试验的定义

  • 能在相同条件下重复进行
  • 实验的全部结果(不止一个),之前知道所有可能的结果
  • 不能预言出现的结果

必然事件 Ω
不可能事件 Φ

样本空间

 样本点 ω, Ω = {ω}
 事件A ⊂ Ω

Ex1
 将一枚硬币抛两次
 H: 正 T:反
 Ω = {HH,HT,TH,TT}
Ex2
 连续向一目标射击,直到命中
 ωi : 前 i-1 次未能命中,而第 i 次命中
 Ω = {ω1,ω2,ω3,……}

事件的关系

  • A∩B = AB
  • Ω = {ω1,ω2,……ωn} Ai = {ωi},i = 1,2,…,n ,A1∪A2∪…∪An = Ω 且 Ai ∩ Aj = Φ (i != j)
  • A1,…,An 叫Ω的一个 完备事件组

运算规律

  • 符合交换律结合律
  • 分配律
  • 对偶法则

概率的定义

主观概率

客观概率

定义

 对A,P(A)

  • $0 \le P(A) \le 1$ (非负性公理)
  • $P(Ω)= 1$(正则性公理)
  • 若有互不相容的事件的合事件的概率==事件概率的和

概率的性质

  • P(Φ)= 0
  • 若A1,A2,…,An 互不相容,则事件并起来的概率==每个事件概率的求和
  • 对任意事件A,P(A)+P($\bar{A}$) = 1
  • 对于两个事件A,B A ⊂ B ,则 P(A) <= P(B)·P(B-A) = P(B) - P(A)
  • 对于任意两个事件A,B P(A∪B) = P(A)+ P(B) - P(AB)

    概率为0的事件不一定是不可能事件

古典概率模型

定义

  • 只有有限多个样本点
  • 每个样本点发生的可能性相同

排列组合

  • 加法原理
  • 乘法原理

条件概率

定义  

  • P(A|B) = P(AB)/P(B)  B发生的条件下A也发生的概率
  • P(AB) = P(B)·P(A|B)  乘法公式
  • P(A1A2A3) = P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A2A1)
  • p(A) = $\sum^n_{i=1}$ P(Bi)·P(A|Bi)  全概率公式

独立性,系统的可靠性

独立性

  • 若P(A|B) = P(A), A与B相互独立,互不相容不等于相互独立

多个事件的独立性及可靠性

  • 若满足 P(AB) = P(A)·P(B) P(BC) = P(B)·P( C) P(AC) = P(A)·P( C) P(ABC) = P(A)·P(B)·P( C) 则称 A,B,C 相互独立
  • 只满足前3个则为两两独立

随机变量及其分布

随机变量

  • 取值随机会而定
  • 是实验结果的函数

离散型随机变量

常用的三种离散型随机分布

  • 两点分布
     重复独立试验->彼此独立->只有两个结果->贝努里试验
  • 二项分布
     二项分布表可查
  • poisson分布
     $b(l;n,p_n)->p(k,λ) = \frac{λ^k}{k!}e^{-λ}$

分布函数

  • 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数
    F(x) = P{X $\le$ x} 叫 X 的分布函数

分布函数的性质

  • F(x)单调不减
  • $0 \le F(x) \le 1$
  • $F(X + 0) = F(X)$

连续性随机变量

  设随机变量 X 的分布函数为 F(X), 如果存在非负函数$f(x)$ 使
  $F(x) = \int ^x_{\infty}f(t)dt$
  则称 X 为连续型随机变量
  $f(x)$ 称为 X 的概率密度(函数)

连续型随机变量的性质

  • $f(x) >= 0 ,(- \infty < x < +\infty)$
  • $\int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx = 1$
  • 对 $\forall x1 \le x2 ,p[x1 < X \le x2] = \int ^{x2}_{x1}f(x)dx=F(x2)-F(x1)$
  • 若 $f(x)$ 在 $x$ 点连续 则 $F’(x)=f(x)$
  • 改变 $f(x)$ 在个别点处的函数值不影响 $F(x)$
  • 对 $\forall x$ P{X = x} = $\int ^x_xf(t)dt=0$

常用的三种连续型随机变量

均匀分布

指数分布

正态分布

随机变量的函数的分布

已知X,若 Y = f(z),求 Y 的分布

二维随机变量

二维随机变量的概念

二维随机变量的分布函数

假设(X,Y)是二位的点,对 $\forall x,y$,称二元函数 $F(x,y)=$ P{$X \le x,Y \le y$}为 (X,Y) 的联合分布函数

联合分布函数的性质

  • $F(x,y) 对 x(或y)$是单调不减的
  • $0 \le F(X,Y) \le 1$
  • $F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y)$

二维离散性随机变量

二位连续型随机变量

咕咕咕咕咕咕咕

随机变量的数字 特征

数学期望

  数学期望简称 期望 ,又称为 均值
  - 离散型: $E(X)= \sum^{\infty}_{i = 1}a_ip_i$